Esame Orale Dvornicich-Gaiffi

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InformateciBot
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Iscritto il: 30/09/2018, 16:33

Matematica Discreta:
-Teorema Cinese: Funzionamento e Dimostrazione;
-Trovare un polinomio di grado 4 a coefficienti in Z irriducibile, con spiegazione del perché;
-Algoritmo di Euclide applicato ai polinomi;
-Trovale in C la riduzione tramite "grafico" del polinomio x^4+1.

Algebra lineare:
-Formula di Grassmann: Enunciato, dimostrazione e motivo del perché non vale per 3 insiemi.
-Relazione tra U e U ortogonale in V
-Spiegare la relazione (in un endomorfismo simmetrico) di vettori di U e vettori di U ortogonale

domande che sono state mandate su telegram [mdal-B]:
-Se ho un sistema lineare non omogeneo con 10 variabili e la matrice del sistema ha 3 pivot cosa può accadere?
-Esempio di endomorfismo non diagonalizzabile
-Esempio di T endomorfismo non diagonalizzabile mentre T^2 diagonalizzabile
-Se T è diagonalizzabile può essere che T^2 non lo sia?
-Teorema se ho v1,..,vr autovettori di un endomorfismo e questi vettori sono relativi ad autovalori distinti allora come sono?
-Dimostrazione metodo MCD dei polinomi
-Sistema di congruenze con 2 moduli allora uso il teorema cinese con i moduli primi tra loro, se non sono primi tra loro cosa si fa?
-Perchè il sistema ha soluzione sse l'MCD tra i moduli divide b-a?
-x^3 congruo 1(mod 7) quante soluzioni ha?
-Sia n10 prendiamo i sottoinsiemi che che contengono i numeri 1,2,3, quanti sono?
-Sia v spazio di dim 10 con prodotto scalare e prendo il sottospazio u di dim3, che dim ha u ortogonale?
-Dimostrazione che T* manda u ortogonale in u ortogonale
-Data un'applicazione lineare T:V->V e so che T^2=I, cosa posso dire?
-Come abbiamo dimostrato che un insieme di vettori linearmente indipendenti li posso estendere ad una base?
-Perchè la matrice di vandermonde ha quel determinante?
-Esempio di polinomio di deg=4 a coefficienti interi che sia irriducibile? Uso il principio di eisenstein
-Dim che x^4+1 è irriducibile
-Disegnare sul piano complesso le radici del polinomio

questo è quello che c'era più o meno scritto nel messaggio

Matematica Discreta:
- MCD tra polinomi
- Preso un Insieme X {1...100}, quanti sono i sottoinsiemi A con la proprietà di avere esattamente 13 pari.

Algebra:
- Dimostrare che autovettori generati da autovalori distinti sono linearmente indipendenti.

Dvornicich molto tranquillo, mentre Gaiffi piuttosto puntiglioso.

MD
Teorema Cinese del Resto, definizione e applicazione

Algebra:
Teorema spettrale(definizione), proprietà degli autovalori di endomorfismi simmetrici in R (autoaggiunti quindi)
Dimostrazione che se un endomorfismo è autoaggiunto le sue radici sono reali
Dimostrazione che se t radice allora t autovalore e viceversa.

Entrambi molto tranquilli, Gaiffi è più preciso ma non mette in difficoltà e cerca di aiutare senza servirti nulla su un piatto d'argenzo (capite la citazione vi prego), dvornicich se la prende con comodità e con me molto tranquillo

Matematica Discreta:
-Passaggio a formula ricorsiva, esempio Fibonacci
-Dimostrare come si arriva ad avere an=a*alfa^n+b*beta^n

Algebra Lineare
-Data una matrice 10x10 con 7 pivot, le varie soluzioni del sistema non omogeneo rispetto alla posizione dei pivot
-Dati due sottospazi di R^6, di dimensione A=4 e B=4, é possibile che la loro intersezione sia nulla?
- Dire una matrice 3x3 a coefficienti in Z3 (modulo 3), con determinante diverso da 0 e dire quante possibili matrici di questo tipo esistono

Algebra Lineare:
-Cos'è, qual'è e quanti sono i complementari in R^4 di due vettori. ("Teo completamento base")
-Data una matrice 6x10 con che criterio possiamo adottare per avere info sul rango. (Determinante)
-Scrivere un applicazione lineare che ruota un angolo theta.

Matematica Discreta:
-Se so che p(x)="?" p(y)="?" p(z)="?" //dove x,y,z erano reali e "?" valori che non ricordo che cosa possiamo dire? (Si ricollegava al detrminante di Vandermonde)
-Se ho p(x)= un polinomio di grado 10, e q(x)= un polinomio di grado 6 quante soluzioni ha p(x)=q(x)?
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