2. ((∀x.P) ∨ ¬(∃x.R)) ∧ (∀x.¬Q => R) => (∀x.Q ∨ R)

((∀x.P) ∨ ¬(∃x.R)) ∧ (∀x.¬Q => R)
≡ { De Morgan}
((∀x.P) ∨ (∀x.¬R)) ∧ (∀x.¬Q => R)
=> {sempl - ∧}
((∀x.P) ∧ (∀x.¬Q => R)
=>{intro ∨ al contrario}
(∀x.¬Q => R)
≡{elim => al contrario, doppia negazione}
(∀x.Q ∨ R)

è corretta questa soluzione?

3. "Tutti gli esami superati sia da Mario che da Antonio sono esami del primo anno, ma Antonio ha superato anche esami del secondo anno" come si formalizza?


2.
Forse la soluzione che hai scritto ha qualche typo... Ricontrolla.
In ogni caso si può fare in modo più semplice:
[math]
[math] (semplificazione [math])
[math]
[math] (eliminazione [math], doppia negazione)
[math]

3.
Uso M(x) per indicare un esame x superato da Mario e A(x) per un esame x superato da Antonio. Uso P(x) per un esame x del primo anno e S(x) per un esame x del secondo. Allora:
[math]

Giusto, non avevo fatto caso alle parentesi della prima parte!

Mentre per il secondo avevo pensato di usare un predicato binario per rappresentare un esame x superato da Mario/Antonio