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Domande Orale Favilli

Inviato: 24/01/2017, 10:31
da InformateciBot
Mi hanno chiesto (24 gennaio 2017) :

Favilli:

- relazione fra monotonia e iniettività (relazione fra crescenza stretta e iniettività)
- Le funzioni sono sempre definite su un intervallo?
- Teorema dell'esistenza degli zeri

Assistente:

- Enunciato e dimostrazione Teorema di Rolle
- integrale definito, definizione, cos'è un integrale in generale.
- date queste 3 condizioni: f(0) = 0 ; f(1) = 1 ; integrale definito che va da 1 a 2 di f(x) = 1 ; Riesce a trovare una funzione crescente che rispetti queste 3 condizioni? Io le ho risposto di no senza però trovare le giuste motivazioni.
- Come sono collegate continuità e derivabilità? (risposta : derivabilità => continuità), dimostra quindi che derivabilità => continuità

Le domande partono da una definizione di teorema e la sua dimostrazione. Poi un esempio a riguardo. Cercano di farti ragionare per vedere se hai capito le cose. Essendo il prof Favilli e Serra che interrogano mezz'ora per uno, ci sta che ti facciano fare anche un integrale. Se studi e sai ragionare, ti aiutano!

L'orale dura circa un'ora, mezz'ora Favilli e mezz'ora Serra.
Ho raccolto qualche domanda:
- Favilli:
Definizione di estremo superiore.
Th. Unicità del limite
Funzione pari.
Data una funzione tracciare il grafico della funzione inversa
Relazione tra la continuità e la derivabilità. Dimostrazione.
Punti di non derivabilità.
Significato dell'integrale definito.
Come si trovano i punti di massimo e minimo di una funzione?
Enunciare il th di Weirstrass.
Teorema dell'esistenza degli zeri. Perché con dominio R sulla funzione x^3 vale il th dell'esistenza degli zeri?
Derivata seconda e legame con concavità e convessità.

- Serra
Definizione di funzione monotona.
La somma di due funzioni monotone è anch'essa monotona?
Rappresenta una funzione iniettiva, non monotona.
Completare il grafico di una funzione data in modo che risulti pari.
Definizione di derivata seconda.
Significato della derivata seconda nulla.
Condizioni sufficienti affinché il prodotto di due funzioni sia monotono.
Data la funzione a^x. Quali sono le ipotesi su a affinché a^x sia una funzione significativa.
Fare un esempio di funzione positiva che si trovi nel primo quadrante che abbia come integrale definito 0. (Diversa dalla funzione costante 0)

Orali del 16 e del 19 gennaio (svolti nel pomeriggio a partire dalle 15): non c'è mai stato l'assistente, solo Favilli. Le domande sono state tutte teoriche e chiedeva di scrivere su un foglio quello che si diceva, sia enunciati che dimostrazioni. La durata è stata di 20-30 min con 5-7 domande a testa.

Orale 1 (16/01):
-Studia l'insime 2/(1+n)
-Correlazione tra derivabilità e continuità: vari esempi e controesempi di funzioni che mostravano questo rapporto (funzione continua ma non derivabile, funzione non derivabile ma continua, ecc)
-Relazione tra derivata e crescenza (in un intervallo): ha posto attenzione su gli estremi dell'intervallo e indebolendo le condizioni cosa succedeva
-Teorema di LaGrange
-Studiare int from (-pigreco/2) to (+pigreco/2) sin x dx=0 graficamente e senza usare la formula (quindi graficamente): nell'intervallo la funzione è dispari

Orale 2 (16/01):
-Fare un esempio di insieme limitato inferiormente e illimitato superiormente: i naturali
-Th. esistenza zeri + dim
- definizione di funzione crescente in un punto
- relazione tra derivata e crescenza
- esempio di punto crescente la cui derivata NON è >0: dovrebbe essere x^3 in x=0
- Th. media integrale + dim

Alcune domande degli orali del 19/01 (vado a memoria quindi correggetemi):
-relazione tra funzioni monotone e iniettività
-th. unicità del limite + dim
-teorema della permanenza del segno
-teorema del confronto
-Teorema di Weierstrass e dei valori intermedi
-punti di non derivabilità
-Th di Rolle+dim
-th di LaGrange + dim
-punti di flesso
-Th: due funzioni che derivate danno la stessa funzione differiscono per una costante
-th. della media integrale
-formula del calcolo integrale
-definizione di integrale: intende quello di Rieman se non sbaglio

Io oggi arrivavo con i compitini, il Favilli era solo e mi ha chiesto:
- esempio di insieme illimitato formato interamente da punti di accumulazione (inoltre durante la risposta è venuta fuori la discussione sulla possibilità di un insieme illimitato di essere finito)
- teorema dell'esistenza degli zeri
- uso del teorema degli zeri nelle dimostrazioni
- significato dell'integrazione in senso definito
- implicazioni di derivata prima = 0 in un punto

Favilli (l'assistente non c'era) mi ha chiesto :
- Definizione punto di accumulazione
- Esempio di insieme senza punti di accumulazione
- Relazione tra punti interni e punti di accumulazione
- Teorema esistenza degli zeri + dim
- Teorema della permanenza del segno
- Dimostrare che l'integrale definito da (-b) a (b) di una funzione dispari e' = 0
- Teorema della media integrale + dim

Il tutto e' durato 20 minuti.

Favilli mi ha chiesto:
- Teorema fondamentale del calcolo integrale
- Punto isolato
- Dimostrare che se una funzione definita in un intervallo ha derivata sempre pari a zero, allora è una funzione costante
- Valore dell'integrale definito nell'intervallo -a ed a di una funzione dispari e dimostrazione

Favilli all'appello straordinario di ottobre (sì sono in ritardo ma vabbé) mi ha chiesto:
- Teorema di Rolle
- Formula fondamentale del Calcolo Integrale
- Cosa succede se cambio estremi alla funzione integrale [math], es. al posto di [math] metto [math] ? In pratica mi ha fatto arrivare alla conclusione che tutte le funzioni integrali differiscono per una costante.
- Che correlazione c'è tra derivata prima e crescenza?
- Che correlazione c'è tra punti interni e di accumulazione?

Orale dell’appello del 12 giugno, erano presenti sia Favilli che l’assistente.
L’assistente mi ha chiesto:
- errori su alcuni esercizi del compito
- Teorema dell’estistenza degli zeri