Data: Febbraio 2016
Quando lo feci io si poteva scegliere se fare un orale "breve" con solo gli enunciati e le definizioni(senza possibilità di aumentare il voto) o un orale lungo con enunciati, definizioni e dimostrazioni. Faceva fare esercizi solo se ti "annodavi" con qualche teorema (tipo per farti capire da solo che stavi sbagliando). Personalmente scelsi l'orale lungo e aumentai da 19 a 24 il voto.
Se non ricordo male mi chiese (con dimostrazione):
- Teorema di Lagrange
- Teorema della media integrale (con annessa domanda su cosa fosse la media integrale)
- Teorema dei carabinieri
E' possibile mi abbai chiesto anche altri enunciati ma in questo momento non ricordo!

Orale breve fatto oggi.
Ho confermato il 27.

Mi ha fatto solo 3 domande:
- Teorema di Rolle
- Teorema fondamentale del calcolo integrale (specificare che la funzione è definita su un intervallo)
- Cos'è una primitiva

Sono andato lì con 27 e ho fatto l'orale lungo. Mi ha chiesto(con dimostrazione annessa):
-Teorema fondamentale del calcolo integrale
-Teorema sulla permanenza del segno
-Teorema di Lagrange
Un altro paio di teoremi da dimostrare che però ora non ricordo. Una domanda che può fare è perché in certi teoremi sono importanti le ipotesi di continuità o derivabilità e perchè nel caso in cui mancassero il teorema non funzionerebbe

Orale lungo (Gennaio 2017)
- Teorema di Fermat
- Teorema sulla permanenza del segno
- Criterio della radice
- Somma di funzioni continue
- Teorema della media integrale
Tutti quanti con dimostrazione annessa

Orale lungo (gennaio 2017)
-partendo dalla definizione di retta tangente ad un grafico mi ha chiesto di dimostrare che la differenza di un grafico e della retta tangente ad esso sia un o piccolo di (x-xo).
-teorema di fermat
-teorema del valor medio

Confermato 21 ,orale breve (luglio 2017)
-Teorema Lagrange
-Teorema dei carabinieri
-Teorema fondamentale del calcolo integrale

Orale lungo (Luglio 2017)
Voto da 20 a 24
Teorema di Fermat
Teo del Calcolo integrale
Teo Criterio della radice

Poi mi ha chiesto una cosa che non ho saputo, ossia cosa succede se integro una funzione che non è continua; la risposta è che le discontinuità in f diventano punti angolosi in F

Orale breve (Settembre 2017)
Confermato 24.

- Teorema di Fermat
- Formula dell'Integrazione per parti
- Definizione di o-piccolo

Orale lungo, 22/01/18, da 18 a 22.
Mi ha chiesto (con dimostrazione):
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Teorema della permanenza del segno
Criterio della radice

Orale lungo, 01/02/2018, da 19 a 22.
Teorema della permanenza del segno e dimostrazione
Teorema di fermat e dimostrazione
Formula equazione differenziale del primo ordine, e come si ricava.

Orale breve 02/02/2018
-teorema di Fermat
-teorema fondamentale del calcolo integrale
-teorema dei carabinieri

Orale lungo 13/03/18 da 18 a 22
-Come risolvere un equazione differenza del primo ordine(come si ricava la formula)
-Teorema di Lagrange
-Teorema degli zeri
- una domanda inerente al teorema degli zeri quando una funzione tende a + infinto ad un numero positivo, e a -infinito ad un numero negativo

Orale lungo da 18 a 22 (14/02/18):

- Teorema di Folle.
- Teorema dei Carabinieri.
- Teorema della Media Integrale
- Dare un esempio di funzione in cui non è possibile trovare il valore della media Integrale.

La risposta all'ultima è per esempio una funzione definita tra [a,b] tale che f(x)= 1 fino ad un punto z e 2 successivamente.
z dunque è un punto di discontinuità (di salto).

11 Maggio 2018 - Orale lungo +6 punti
Durata: 40/50 minuti


Teorema degli zeri:
- Enunciato e dimostrazione
Teorema fondamentale del calcolo integrale
- Enunciato e dimostrazione
- Cosa succede se dico che f è integrabile in I anziché essere continua, come prevede l’enunciato? Quale risultato riesco ad ottenere in questo caso?
Risposta: Nella dimostrazione del teorema la continuità viene utilizzata in due punti:
1) Per applicare il teorema della media integrale in modo da poter dire che:

[math]

2) Per concludere la dimostrazione (senza ipotesi di continuità non potrei affermare una cosa del genere):

[math]

I passi della dimostrazione fatti fino al punto 1 escluso rimangono invariati. Da li in poi si può applicare sempre
il teorema della media integrale, ma si utilizza in questo caso la versione valida per una funzione generalmente
continua. In questo modo si può dire che:

Inf(f) <= [math] <= sup(f)

E quindi facendo un po di calcoli che:

[math]

Concludendo, si riesce a dimostrare:

[math] perché [math] e [math] tendono a 0 con x->x0

Quindi in questo caso riusciamo a dire che la funzione F(x) è continua in x0.

Sapresti trovarmi una funzione continua che ha infiniti punti in qui si annulla in in un intervallo [a,b]?
La riposta che voleva era: [math], ma per arrivare a farmelo dire mi ha imposto vincoli sempre più stringenti che mi hanno condotto a dagli la risposta che voleva.
Prima risposta: f(x) = 0
Corretto. Ma se ti dico che deve almeno avere un punto in cui non si annulla?

Seconda risposta: f(x) = { 0 se x > a And x <= b; 1 se x = a}
Corretto. Ma se ti dico che i punti in cui si annulla devono essere punti isolati?

Terza riposta: sin(1/x). Ok, la funzione ha infiniti punti in cui si annulla quando ci si avvicina a 0, ma in 0
non è continua. Sapresti “aggiustarla” per far diventare la funzione continua in 0?

Quarta risposta: sin(1/x) non esiste se x->x0 ma posso dire che oscilla fra -1 e 1 quindi che:
[math]
Ma allora se moltiplico tutto per per x ottengo che:
[math]
Quindi è facile accorgersi adesso che la funzione [math] è continua in 0 e che ha
infiniti punti in cui si annulla.